今回は、
「図形と計量」
の単元について振り返っていきます。
ここでは三角比を中心に振り返っていきます。
概要
1-4-1 三角比の基本では、
直角三角形を用いた、
sin, cos, tanの定義を勉強します。
また、
30°, 45°, 60°に置けるそれぞれの値も、
しっかり覚えておきましょう。
三角比の初歩の初歩なので、
しっかり確認するといいでしょう。
1-4-2 三角比の拡張では、
単位円を用いた、
sin, cos, tanの定義を勉強します。
直角三角形を用いた定義では、
0° < θ < 90°までしか表現できなかったのに対し、
こちらの定義では、
-∞° < θ < ∞°までを考えられるようになります。
単位円を用いて、
どのように三角比を考えるのかしっかり確認しておきましょう。
直角三角形を用いた定義よりも重要になってくるので、
図を用いてしっかり考えられるようにしておきましょう。
1-4-3 正弦定理と余弦定理では、
読んで字の如く、
正弦定理と余弦定理を学びます。
それらの定理の式の形はもちろんながら、
問題の中でどのように使うまで、
しっかり確認しておけるといいでしょう。
三角比の単元は、
正弦定理と余弦定理が大部分を占めます。
出題方法も似たようなものが多いので、
何度も解いているとすぐに慣れていくと思います。
sin, cos, tanなどの文字が出てきて、
一見ややこしいですが、
少しずつ文字に慣れていきましょう。
1-4-4 三角比と図形の計量では、
三角形の面積をメインに勉強します。
1-4-3の問題の延長として三角形の面積が入ってきたイメージです。
正弦定理・余弦定理に加えて、
三角形の面積が、
この分野のもう一つのキーワードになっています。
三角形の面積の公式はいくつかありますが、
それぞれしっかり理解して覚えておきましょう。
問題を解いていく中で、
公式も頭に入ってくると思うので、
とりあえず問題演習を進めていけるといいでしょう。
この分野から図形問題が入ってきます。
図形問題はひらめきが大事とか、
補助線を引けるかどうかが勝負とか、
色んなことを言われますが、
全ては正しく理解できているかどうかで決まります。
数学においてもひらめきなんて必要ありません。
多くの人がひらめきだと呼んでいる一手も、
830達にとって、
論理的に考えた結果の当然の一手でしかありません。
あたかも天賦の才能があるかのように表現されますが、
そんなものはありません。
しっかりと勉強して、
正しく論理的に考えていけば、
必ず答えに行きつきます。
この記事を読んで頂けたなら、
数学などにおいても、
ひらめきや才能といった言い訳をせずに、
どのように考えていけばその一手にたどり着くことができたのかを、
貪欲に考え抜いて、
次の問題に活かしていってください。
考察
1-4-1 三角比の基本
1-4-1-1 三角比の定義
直角三角形を用いた、
三角比の定義を確認しておきましょう。
1-4-1-2 主な三角比の値
30°, 45°, 60°の時の三角比を覚えておきましょう。
1-4-2 三角比の拡張
1-4-2-1 単位円と三角比
単位円を用いた、
三角比の定義を確認しておきましょう。
1-4-2-2 余角・補角の定理
(90-θ)について考える余角の定理、
(180-θ)について考える補角の定理を勉強します。
どちらも単位円による定義が分かっていれば、
問題なく理解することができるので、
1-4-2-1で単位円による定義をしっかり理解しておきましょう。
1-4-3 正弦定理と余弦の定理
1-4-3-1 正弦定理と余弦定理の考え方
正弦定理と余弦定理はしっかり覚えておきましょう。
また、
図形問題の中で、
どのように扱っていくのかも合わせて、
しっかり学習していけるといいでしょう。
1-4-3-2 三角形の成立条件
三角形の成立条件は、
3辺の長さの関係に注目します。
3辺の長さをa, b, cとして
( * ) |b-c| < a < b+c
と表されますが、
式をそのまま覚えるのではなくて、
意味を確認しておきましょう。
長さaの辺の両端から長さb, cを考えた時、
三角形となるためには、
a < b + c
である必要があります。
また同様に、
長さbの辺の両端から長さc, aを考えた時、
三角形となるためには、
b < c + a
となる必要があります。
これらを合わせると、
( * )の式が出来上がります。
確認しておきましょう。
1-4-3-3 鋭角と鈍角
三角形の成立条件では、
3辺の関係を考えましたが、
鋭角・鈍角を考える時は、
余弦定理を考えます。
角Aが鋭角の時、cosA>0となるので、
余弦定理を考えると、
a2<b2+c2、
角Aが直角の時、cosA=0となるので、
余弦定理を考えると、
a2=b2+c2、
鈍角の時、cosθ<0となるので、
余弦定理を考えると、
a2>b2+c2となります。
この考え方を確認しておきましょう。
1-4-4 三角形と図形の計量
1-4-4-1 三角形の面積
三角形の面積の求め方は、
S = (底辺) × (高さ) × (1/2) = bc × sinA ×(1/2)（小学校でなる面積）
S = √s(s-a)(s-b)(s-c) ※但し、2s = a + b + cとする（ヘロンの公式）
S = r × (a + b + c) × (1/2) （内接円の半径）
などがあります。
いずれも頻出の形なので、
それぞれの考え方をしっかり見直してきましょう。
1-4-4-2 多角形の面積
1-4-4-1の発展です。
それぞれ覚えないといけないところはしっかり覚えておきましょう。
図形と計量の範囲は経験がとても重要になります。
たくさん演習をこなして、
早く慣れられるといいでしょう。
まとめ
今回は、
「図形と計量」に分野を振り返りました。
覚える事が少しずつ増えていきますが、
何を覚えないといけないのか、
しっかりリストアップして、
一つずつ覚えていきましょう。
数学Ⅰの振り返りが終わった段階で、
覚えるべきもののリストをアップしようと思います。
是非参考にしてみてください。
今回も最後まで読んで頂きありがとうございました。
これからも宜しくお願い致します。
コロナや花粉症など、
体調管理が難しいと思いますが、
風邪にも負けず勉強していってください！
P.S.
830は、
問題が解けなかい時の原因は3つあると思っています。
- 公式が頭に入っていない
- 問題の解き方を知らない
- 問題に慣れていない
公式を知らないのはまず覚えましょう。
多くの人が一緒にしてしまっているのが、
1つ目と2つ目。
問題の解き方を知らないのと、
慣れが足りないのは、
同じように見えて全く違います。
間違って答えを見た時に、
「こうやって公式を使うだ。」と思う時と、
「あー、そうだった。そうだった。」と思う時では、
全然状況が違います。
人がものを覚えるのは、
思い出した時です。
「あー、そうだった。そうだった。」って思えた時に、
人は成長します。
それは公式を覚えた瞬間と同じです。
「へー、こうやって公式を使うんだ。」と思っている時は、
何も成長していません。
公式を覚えたからと言って問題が解けるようにならないですよね。
それと同じで、
「へー、こうやって公式を使うんだ。」って思っている段階では、
全く問題を解けるようにはなっていません。
演習の中で何回、
「あー、そうだった。そうだった。」と思えるかが、
成績に直結します。
だから、
「あー、そうだった。そうだった。」と思えている時は、
自分の成長を感じてほめてあげてください。
「また、間違った」とか、
「また、忘れてた」とか、
自分を責めないでください。
誰も一回や二回で解き方を覚えられるわけがありません。
成績がいい人ほど、
「あー、そうだった。そうだった。」っていう経験が多いんです。
「こんな解き方あるんだ。」
って思ってないだけ十分成長で、
めちゃくちゃ正解に近づいているんです。
その不正解は、
正解と紙一重なんです。
ポジティブに捉えて、
次の問題へのモチベーションにしていってください。
コメントを残す